مدونة

الاستمثال الرياضي

ي الرياضيات، مصطلح الاستمثال أو مفاضلية أو تحسين (بالإنكليزية: optimization) يشير إلى اختيار العنصر الأمثل من بين مجموعة بدائل متاحة.

إذا كان لدينا : دالة رياضية f : A $\to$ R من مجموعة A إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. فإنه لدينا : عنصر $\mathcal {}x_0$ في A بحيث أن $\mathcal {}f(x_0) \leq f(x)$ من أجل جميع قيم $\mathcal {}x$ في المجموعة A ("تصغير" minimization) أو بحيث أن $\mathcal {}f(x_0) \geq f(x)$ من أجل جميع قيم $\mathcal {}x$ في المجموعة A ("تكبير" maximization).

مثل هذه الصياغة ندعوها أحيانا : برنامج رياضي mathematical program، وهو مصطلح لا يرتبط ببرمجة الحاسب، لكنه يبقى مستخدما في مجالات مثل البرمجة الخطية linear programming، فائدة هذا الحقل الدراسي تكمن في قدرته على نمذجة العديد من المسائل النظرية والواقعية أيضا.

A تؤلف مجموعة جزئية ما من الفضاء الإقليدي Rn, غالبا ما حدد عن طريق مجموعة من المحددات محددات constraints, أو المعادلات أو المتراجحات التي يجب أن تحققها عناصر A.

عناصر A تدعى حلولا ممكنة (محتملة) feasible solutions. والدالة f تدعى دالة موضوعية objective function أو دالة الكلفة cost function. الحل الممكن الذي يقوم بتصغير أو تكبير الدالة الموضوعية (حسب الغالية التي نريدها) ندعوه الحل الأمثل (الأفضل أو الأحسن) optimal solution.

نطاق الدالة f : وهو A يدعى فضاء البحث، في حين تدعى عناصر A الحلول المرشحة candidate solution أو الحلول الممكنة feasible solutions.

بشكل عام، يكون هناك عدة نهايات صغرى محلية local minima ونهايات عظمى maxima محلية، حيث تعرف النهاية الصغرى المحلية $\mathbf {x}^*$ على انها نقطة تحقق : من أجل بعض القيم $\mathcal {}\delta > 0$ وجميع قيم $\mathbf {x}$ التي تحقق :

$\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\|\leq\delta$ ;

تكون الصيغة التالية محققة :

$f(\mathbf{x}^*)\leq f(\mathbf{x})$

هذا يعني أنه على أي نطاق كروي محيط ب $\mathbf {x}^*$ تكون جميع قيم الدالة أكبر أو تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة (هذا مفهوم النهاية الصغرى). بشكل مشابه يمكننا تعريف النهاية العظمى والكبيرة.

د. تركي بن محمد بن عبدالله السريهيد

الاستمثال الرياضي