King Saud University
  Help (new window)
Search


Guidelines_English_Final
تحميل الدليل التدريبي

أسئلة شائعة


 

مبدأ التكامل

 

v   مبدأ التكامل يطبق في مشاكل الإنتاج..

 

*يوجد عاملين وهم:

1- sy=0

    y= هو سعر ظل المورد وهو معدل التغير في دالة الهدف نتيجة للتغير الطرف الايمين

          بوحدة واحدة إضافية من المورد.

     S= هو الفائض من المورد.

    

مثلاً:.

    لو الحل الأمثل بقيمة موجبة 0<S   يصبح y=0

    لو الحل الأمثل =صفر          0=S  يصبح 0<y

 

2- TX=0

      T= هي التكلفة المنخفضة وهو معدل التغير في دالة الهدف عند زيادة متغير غير 

            أساسي بوحدة واحدة لكي يصبح أساسي في الحل وهي معامل المتغير في

             الصف القياسي وهي القيمة التي يزيد بها معامل غير أساسي لكي يصبح أساسي 

             في الحل.

 

§    حل البرنامج الاصلي من البرنامج البديل باستخدام مبدا التكامل:.

 

مـــثــال:

Max Z=90x1+100x2+110x3

s.t.

 5x1+10x2+12x3£ 160

x1+x2+x3 £ 24

x1+x2+x3 ³0

 

الحل:

1)ايجاد الحل البديل:.

 Min C=160y1+24y2

s.t.

5y1+y2³90            (0,90).(18,0)

10y1+y2³100        (0,100).(10,0)

12y1+y2³110        (0,110).(9.16,0)

y1,y2³0

 

 

 

2)حل البرنامج بالرسم البيانياً:.

 

*بعد الرسم نحدد نقاط الحل : 

O.S

قيمة دالة الهدف

نقط طرفين

 

b

2640

a (0,110)

2272

b (2.8,76)

2880

c (18,0)

 

*لتاكد من الحل جبرياً:

(-2*)  5y1+y2=90

(2*)    12y1+y2=110

 _________________

 -10y1-2y2=-180

   24y1+2y2=220

________________

 14y1=40

¾       ¾

14       14

                         Y1=2.857

ثم نعوض في المعادلة 5y1+y2=90  

5(2.857)+y2 =90

14.285+y2=90

Y2=90 – 14.285

Y2=75.715

ثم نعوض في داله الهدف:

Max z=160(2.857) + 24(75.715)

          = 2274

 

                                                                                                            

 

3) تطبيق الجزء الاول من مبدا التكامل:. Sy=0   

    لقد ظهرت قيم موجبة y>0   Ü s=0

Y1=2.857 Þ s1=0

Y2= 75.715  Þ s2=0

نرجع إلى البرنامج الاصلي ونضيف قيم s لان (البرنامج الاصلي اشارتها £ ونطبق قاعدتها).

5x1+10x2+12x3+s1=160

X1+x2+x3+s2=24

 

4) تطبيق الجزء الثاني من مبدا التكامل:.Tx=0

 T ناخذها من البرنامج البديل لان (البرنامج البديل اشارتها ³ ونطبق قاعدتها).

1) 5y1+y2 – T1 =90

    5(2.857) +75.715 – T1 =90

    90 – T1 - = 90

    T1= 90 – 90

   *T1 =0     Þ  x1>0

 

2) 10y1+ y2 – T2=100

     10(2.857) + 75.715 – T2=100

     28.57 + 75.715 – T2 =100

     104.285 – T2=100

    - T2 =100 – 104.285

    -T2= - 4.285

    ¾      ¾

   -1       -1

   *T2= 4.285 Þ  x2=0

 

3)12y1+ y2 – T3 =110

   12(2.857) + 75.715 – T3 = 110

   34.284 + 75.715 – T3= 110

109.95 – T3=110

- T3= 110 – 109.95

-T3 = 0.05

¾      ¾

-1      -1

*T3= -0.05 Þ x3>0

* لو T  ظهرت سالبة نفرضها بصفر بمعنى

   X3>0

 

 

 

 

 

5) نرجع إلى البرنامج الاصلي :.

 نذهب إلى الفقرة 4 ونظر إلى القيم التي عندها صفر وهي x2=0

5x1+10x¤2+12x3+s¤1=160

X1  + x¤2  +  x3  +s¤2= 24

Max z=90x1+100¤x2+110x3

تم الغاء 10x2 ,x2,s1,s2

التاكد جبرياً:

  5x1+ 12x3=160

(-5*) x1+x3=24

______________

 5¤x1+12x3=160

-5¤x1 – 5x3= -120

______________

7x3=40

¾    ¾

7      7

*X3=5.714

نعوض في دالة x1+x3=24

X1+ x3=24

X1+ 5.714=24

X1=24 – 5.714

*X1=18.286

نعوض في دالة الهدف

Max z=90x1+ 110x3

           =90(18.286)+ 110(5.714)

           = 2274

 

 

السؤال الثالث :

البرنامج الاصلي :
MAX Z=20X1+15X2+15X3
S.T.        10X1+3X2+10X3
100
              5X1+5X2+5X3
60
              X1,X2,X3
0
 
البرنامج البديل :
MIN C=100Y1+60Y2
S.T.        
10Y1+5Y220
               3Y1+5Y215
               10Y1+5Y215
                Y1,Y20
اقصى مبلغ يمكن دفعة مقابل وحدة إضافية منA ووحدة اضافية منB ؟


        10Y1+5Y2=20
    Y1=2, Y2=4     
      
        3Y1+5Y2=15                 
Y2=4  , Y2=3          
 
        10Y1+5Y2=15   
Y1=1.5   , Y2=3         
 
تقاطع القيد1و2
          10Y1+5Y2=20 
           -3Y1-5Y2=15

             Y1=.7

  Y2=2.6  

بالتعويض في دالة الهدف :

 100(.7)+60(2.6)= 224.6
مقابلAيمكن دفع Y1=.7
مقابلBيمكن دفعY2=2.6
 
YS=0

Y1=.7              S1=0

Y2=2.6                        S2=0

 

S.T.     

   10X1+3X2+10X3+s1=100
    5X1+5X2+5X3+s2=60

TX=0
10Y1+5Y2-T1=20
3(.7)+5(2.6)-T2=15

10Y1+5Y2-T3=15

بالتعويض :

 

 

20.1-T1=20
T1=0          X1>0
 
3(.7)+5(2.
6)-T=15
T2=0         X2>0
 
10(.7)+5(2.
6)-T3=15
T3=5         X3=0
 
البرنامج الأصلي بعد التعديل ,,,


 10X1+3X2=100
2*( 5X1+5X2=60)


    
X2=2.587 

   X1=9.14 

    Z=225.6

بفرض إمكانية انتاج منتج معدل ربحة 50يلزم 30وحدة منA و10منB
30Y1+10Y2
50
30(.7)+10(2.6)-T4=50
T4=0           X4 > 0

 

ننتج المنتج

 

السؤال الرابع :


 البرنامج البديل:

 

    MIN C=40Y1+10Y2+12Y
S.T.       
2Y1+Y2>=6
              4Y1+Y2+2Y3
10
             3Y1+Y2
2
              Y1,Y2,Y3
0

S.C.

0S3

0S2

0S1

-2X3

-10X2

-6X1

 B.V.

8

-1

-2

1

2

0

0

0S1

4

-.5

1

0

-.5

0

1

-6X1

6

.5

0

0

.5

1

0

-10X2

84

2

6

0

0

0

0

 I.R.

 

الحل الأمثل للبرنامج الاصلي:  

    X1=4      X2=6       X3=0     S1=8

Z= 6(4)+10(6)=84                                              

YS=0

 

                      Y1=0         s1>0 ,s1=8

   S2=0      Y2=6

                    S3=0        Y3=2

TX=0

X1>0                 T1=0                    

X2>0                 T2=0                    

X3=0                  T3>0                   

 هل يمكن ايجاد حلول مثلى متعددة ؟

. نعم يمكن لان X3=0 في I.R .

السؤال الخامس :.

S.C.

mA

0S3

0S2

0S1

-6X3

-8X2

-7X1

 B.V.

58/11

-1

1

-2/11

1/11

20/11

0

0

0S3

65/11

0

0

5/12

-7/11

-17/23

1

0

-8X2

80/11

0

0

-2/11

1/11

20/11

0

1

-7X1

98.17

M

0

.54

.127

.52

0

0

 I.R

 

الحل الأمثل للبرنامج الاصلي:  

  X1 = 80/11    X2=65/11         X3=0

Z= 7(7.27)+8(5.9)=98.1

YS=0

 

 S1=0    Y1=.127

S2=O    Y2=.54

S3=58/11   Y3=0

TX=0

X1=80/11                    T1=0

X2=65/11                   T2=0

X3=0                         T3>0

 

 

 

 

السؤال السادس :

S.C

M Aw

M Ar

M Ap

0 SR

0 SW

0 SP

0 SF

.7X3

.5X2

1X1

B.V 

3

-65

0

0

0

1

0

1

0

0

-.05

0 SF

30

7

-1

0

1

-10

0

0

0

0

1

0 SR

40

-6

0

0

0

10

0

0

0

1

0

.5X2

60

7

0

0

0

-10

0

0

1

0

1

.7X3

3

15

0

-1

0

0

1

0

0

0

.5

0 SP

-62

M-1.9

M

M

0

2

0

0

0

0

.3

I.R 

 

الحل الأمثل للبرنامج الاصلي:  

    X1= 0                 X2=40            X3=60

Z=40(.5)+60(.7)=62

هل يمكن وجود حلول مثلى متعددة ؟

. لا يمكن لان المتغيرات الأساسية قيمتها صفر في I.R.  والغير أساسية لها قيمه

البرنامج البديل:

. MAX Z= -24Y1+12Y2-64Y3                      

S.T.

  -.2Y1+.2Y2-.6Y3+14Y4≤1

-1.5Y1+1.5Y2-.7Y3+Y4 ≤ 0.5

-.25Y1+.15Y2-.6Y3+Y4+Y5 ≤ 0.7

الأفضل حل المشكلة باستخدام البرنامج البديل

 

    

(1)           صنع البرنامج البديل لكل من البرنامجين الخطيين الآتيين :

Max Z = 8x1 + 7x2 + 10x3 + 6x4

طبقا للشروط الآتية :

4x1 + 2x3 + 2x4 ≥ 5

3x2 + x4  ≤ 4

X3 – x4 = 2

X1 ≥ 8

X1 , x2 , x3 , x4  ≥ 0

الحل :

نحول الاشارات الى  لذلك نضرب بسالب

                               ≤ -5 -4x1 – 3x3 – 2x4  y1

3x2 + x4  ≤ 4 y2

X3 – x4 ≤ 2 (y3(+

-x3 + x4 ≤ -2  y3(-)

 -x1  ≤ -8 y4

البديل :

Min C = -5y1 + 4y2 – 2y3 – 8y4

S.t.

-4y1 – y4  ≥ 8

3y2   ≥ 7

-3y1 + y3 –y3   10

-2y1 + y2 – y3 +y3     6

وأوجدي البديل لهذا:

Min C =3x1 +2x2 –x3

طبقا للشروط:

5x1 + x2 ≤  24

3x2 + 4x3  ≥ 27

2x1 + 7x3 =36

X1 , x2 , x3 ≥   0 

 

الحل :

نحول دالة الهدف الى max بضربها باشارة سالبه

والقيود لاصغر كذلك

Max Z =-3x1 -2x2 +x3

s.t.

                                        24 5x1 + x2  y1

-3x2 – 4x3 ≤  -27 y2

2x1 +7x3 ≤  36 y3(+)

-2x1 – 7x3 ≤  -36 y3(-)

البديل :

Min C =3x1 + 2x2 – 3x3

s.t.

5y1 + 2y3 – 2y3(-)≥ -3

Y1 – 3y2 ≥ -2

-4y2 + 7y3 -7y3(-) ≥ 1

Y1 ,y2≥ 0

Y3  غير محدده الاشاره 

 

 

 

 

الثنائية واسعار الظل

1-    إن كل برنامج اصلي له برنامج بديل بتساوي مع بعض في النهاية وتكون دالة الهدف واحدة

  برنامج الاصلي                                           برنامج البديل

 

اذا كان Maxz                                                يكون البرنامجMinc

وكانت اشارات القيود                                         تكون اشارات القيود

£                                                                  ³

£                                                                  ³

£                                                                  ³

وعكس صحيح...

2-    امام كل معاملات متغير بديل والمتغيرات y ومعاملات المتغيرات في دالة الهدف برنامج البديل هي الطرف الايمن للقيود في البرنامج الاصلي والعكس.

3-    اذا كان عدد القيودالاصلي Mوالمتغيرات N يصبح في البديل عدد المتغيرات M وعدد القيود N.

4-    معاملات المتغيرات هي نفسها في البرنامج البديل الاعمدة مع الاعمدة والصفوف مع الصفوف .

5-    كل قيد في البرنامج الاصلي يقابله في البرنامج البديل.

 

 

 

 

مثال(1):.

Minc=3x1+2x2+5x3

s.t.

(*1-) x1+x2+2x3£4   Þ  -x1-x2-2x3³-4

x1+4x2+3x3³2         

x1,x2,x3³0           

الحل:.

1-البرنامج الاصلي هو Minc

نضرب القيد الاول (*-1) لأنه £ولازم يصبح ³ ليتوافق مع البرنامج البديل

     (y1)  -x1-x2-2x3³-4  

      (y2)  X1+4x2+3x3³2

2-معاملات المتغيرات في دالة الهدف برنامج البديل هي الطرف الايمين للقيود البرنامج الاصلي والعكس

Maxz=-4y1+2y2

s.t.

-y1+y2£3

-y1+4y2£2

-2y1+3y2£5

Y1,y2³0

  

 

مثال(2):.

Maxz=7x1+9x2+5x3

s.t.

   (y1) 2x2+4x3£10

  (y2) 3x1+5x2£15

          X1,x2,x3³0

 

الحل:.

Minc=10y1+15y2

s.t.

3y2³7

2y1+5y2³9

4y1³5

Y1,y2³0

 

 

 

مثال(3):.

Minc=3x1-5x2-7x3

s.t.

2x1+3x2£5       (-1*)

-4x1+5x3³9                      

X1,x2.x3³0                  

الحل:.

     (y1)  -2x1-3x2³-5

     (y2)   -4x1+5x3³9

 

Maxz=-5y1+9y2

-2y1-4y2£3

-3y1£-5

5y2£-7

Y1,y2³0

  

 

مثال(4):.

Maxz=90x1+100x2

s.t

 (y1)            5x1+10x2£160

 (y2)            x1+x2£24

                    X1,x2³0

الحل:.

Minc=160y1+24y2

s.t.

5y1+y2³90                       (0,90)     (18,0)

10y1+y2³100                   (0,100)    (10,0)

Y1,y2³0

2) رسمه بيانياً

 

 

o.s

قيمة دالة الهدف

نقطة الطرفين

 

b

2400

a (0,100)

2240

B (2,80)

2880

C (18,0)

لتاكد من الحل جبرياً:.

(-2*)  5y1+y2=90

           10y1+y2=100

          _____________

          -10¤y1-2y2=-180

                                                                10¤y1+y2=100

                                                              _____________

                                                                 -y1=-80

                                                                 ¾   ¾

                                                                 -1     -1

                                                                               Y2=80

ثم نعوض 

 5y1+y2=90                

5y1+(80)=90              

5y1+80=90                 

5y1=90-80                  

5y1=10                       

       ¾       ¾                      

5              5                        

2=Y1*

  

Y1=هو سعر الظل المورد الاول وهو معدل التغير في دالة الهدف نتيجة للتغير للطرف الايمين بوحدة واحدة وهو القيمة الحدية المرتبطة بوحدة اضافية من المورد الاول.

 

Y2=هوسعر الظل المورد الثاني وهو معدل التغير في داله الهدف نتيجة للتغير للطرف الايمين بوحدة واحدة وهو القيمة الحدية المرتبطة بوحدة اضافية من المورد الثاني

 

=160يمثل المتاح من المورد الاول


=y1 قيمة الحدية المرتبطة بوحدة اضافية من المورد الاول

 

160Y1= هي قيمة الحدية من المتاح من المورد الاول

 

=24  يمثل المتاح من المورد الثاني

 

=y2  قيمة الحدية المرتبطة بوحدة اضافية من المورد الثاني

 

=24y2 هي القيمة الحدية من المتاح من المورد الثاني

 

دالة الهدف = القيمة الحدية للمتاح من الموارد

 

=5  كمية المستخدم من المورد الاول لانتاج وحدة واحدة من المنتج الاول

 

=5y1 القيمة الحدية للمستخدم من المورد الاول لانتاج وحدة واحدة من المنتج الاول

 

=1 كمية المستخدم من المورد الثاني لانتاج وحدة واحدة من المنتج الاول

 

=y2 القيمة الحدية للمستخدم من المورد الثاني لانتاج وحدة واحدة من المنتج الاول

 

=5y1+y2 القيمة الحدية للمستخدم من المورد الاول والمورد الثاني وحدة واحدة لمنتج الاول

 

=90 معدل ربح للمنتج الاول

 

** لو كان القيمة الحدية للمستخدم ³ من معدل الربح؟ لاينتج

     ~    ~    ~      ~       ~   ~    = ~ ~ ~ ؟ ينتج

     ~   ~    ~       ~       ~   ~     £ ~ ~ ~؟ ينتج 

 

*ايجاد حل البرنامج الاصلي من البديل او العكس باستخدام السمبلكس:.

                             0                     0           -100           -90

q

s.c

S2

S1

X2

X1

B.V

16

160

0

1

10

5

0  s1

24

24

1

0

1

1

0   s2

 

0

0

0

-100

-90

I.R

 

                                0           0           -100        -90

q

s.c

S2

S1

X2

X1

B.V

32

16

0

1¤10

1

.5

-100 x2

16

8

1

-1¤10

0

.5

0  s2

 

1600

0

10

0

-40

I.R

                     0                0             -100        -90

s.c

S2

S1

X2

X1

B.V

8

-1

.2

1

0

-100x2

16

2

-.2

0

1

-90x1

2240

80

2

0

0

I.R

 

 

PROBLEM : 1

 

(Bank Loan Policy) A financial institution, the Thriftem Bank, is in the process of formulating a loan policy involving a total of $12 million. Being a full-service faculty, the bank is obligated to grant loans to different clientele. The following table provides the types of loans, the interest rate charged by the bank, and the probability of bad debt at estimated from past experience:
 

                                                                                    Probability of
Type of Loan                   Interest Rate                         Bad Debt


Personal                               .140                                    .10
Car                                       .130                                    .07
Home                                   .120                                    .03
Farm                                    .125                                    .05
Commercial                         .100                                    .02


Bad debts are assumed unrecoverable and hence produce no interest revenue.

     Competition with other financial institutions in area requires that the bank allocate at least 40% of the total funds to farm and commercial loans. To assist the housing industry in the region, home loans must equal at least 50% of the personal, car, and home loans. The bank also has a stated policy specifying that the overall ratio for bad debts on all loans may not exceed .04.
The objective of the Thriftem Bank is to maximize its net return comprised of the difference between the revenue from interest and lost funds due to bad debts.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
King   Saud University. All rights reserved, 2007 | Disclaimer | CiteSeerx