King Saud University
  Help (new window)
Search


Guidelines_English_Final
تحميل الدليل التدريبي

أسئلة شائعة


 

الفصل الأول:/ وصف وعرض البيانات

البيانات أو المشاهدات (Data):

وهي مجموعة القراءات المأخوذة أثناء إجراء الدراسة.

وتنقسم إلى قسمين:

1)كمية (Quantitative): مثل الوزن (weight) والطول (Height) والعمر (Age).

2) وصفية (Qualitative): مثل الجنس (sex) وفصيلة الدم (blood type) والمستوى التربوي (educational level) ...الخ.

وتنقسم البيانات من حيث التلخيص إلى:

1) بيانات خام أو مباشرة (ungrouped).

2) بيانات مبوَّبة (grouped) أي مختزلة في فئات.

Example:

 

The following data represent the rate of 60 students:

 

C

C

C

B

D

A

E

C

D

B

D

C

E

B

D

C

C

E

D

A

C

E

A

D

D

B

D

C

E

B

D

E

D

C

B

B

D

C

C

D

E

C

A

D

C

A

D

B

D

D

C

D

C

D

D

A

D

D

E

D

 

1-Find the table of frequency distribution.

2- Find the table of relative frequency and percentage frequency.

 

Solution

 

-The variable is rate of student (Qualitative and ungrouped).

-Sample size n=60.

-The possible values of the variable are: A,B,C,D,E.

 

 

 

 

 

 

أولاً نكون جدول لتفريغ البيانات:

frequency

Marks

Class Interval

(variable)

6

A

8

B

16

C

22

D

8

E

n=60

 

Total

 

وبحذف العمود الأوسط نحصل على:

1- Table of frequency distribution:

frequency

Class Interval

(variable)

6

A

8

B

16

C

22

D

8

E

n=60

Total

وهي بيانات مبوَّبة (grouped).

2- Table of relative frequency and percentage frequency:

Percentage ) frequency(

Relative ) frequency(

Frequency

) (

Class Interval

(variable)

10%

6/60=0.1

6

A

13.3%

8/60=0.133

8

B

26.7%

0.267

16

C

36.7%

0.367

22

D

13.3%

0.133

8

E

100%

1

n=60

Total

 

Example:

 

The following data represent the marks of 50 students:

67

90

74

71

90

73

74

70

95

51

69

85

84

72

80

50

89

83

72

91

79

78

75

87

76

91

76

87

82

82

70

86

57

73

82

64

88

81

96

71

91

77

66

83

90

74

85

75

81

80

 

1- Find the table of frequency distribution.

2- Find the table of relative frequency and percentage frequency.

3- Find the table of cumulative frequency.

(Use these class Interval: 50-59 , 60-69 , 70-79 , 80-89 , 90-99)

 

Solution

 

-The variable is marks of student (Quantitative and ungrouped).

-Sample size n=50.

أولاً نكون جدول لتفريغ البيانات:

frequency

Marks

Class Interval

(variable)

3

50-59

5

60-69

18

70-79

16

80-89

8

90-99

n=50

 

Total

 

نلاحظ أن هذه الفترات غير متلاصقة (تحتوي على قفزات):

50   59       60   69       70   79       80   89       90   99

                                    a=1             a=1         a=1                a=1 

 

 

 

 

 

 

 

نسمي هذه القفزة (a) وحدة الدقة، ولعمل الجدول التكراري والجدول التكراري النسبي والمئوي يجب علينا أولاً تصحيح هذه الفترات، وذلك بإتباع الخطوات التالية:

1)نرمز لوحدة الدقة (أو القفزة) بالرمز a.

2)الحد الأدنى المصحح = الحد الأدنى للفئة مطروحاً منه .

3) الحد الأعلى المصحح = الحد الأعلى للفئة مضافاً إليه .

وهنا نجد أن وحدة الدقة a=1[1] لذا فإننا نضيف ونطرح 1/2.

 

1- Table of frequency distribution:

frequency

True Class Interval

(variable)

Class Interval

(variable)

3

49.5-59.5

50-59

5

59.5-69.5

60-69

18

69.5-79.5

70-79

16

79.5-89.5

80-89

8

89.5-99.5

90-99

n=50

---

Total

 

2- Table of relative frequency and percentage frequency:

Percentage ) frequency(

Relative ) frequency(

Frequency

) (

True Class Interval

(variable)

6%

3/50=0.06

3

49.5-59.5

10%

5/50=0.1

5

59.5-69.5

36%

0.36

18

69.5-79.5

32%

0.32

16

79.5-89.5

16%

0.16

8

89.5-99.5

100%

1

n=50

Total

ملاحظة:

طول الفئة=الحد الأعلى المصحح-الحد الأدنى المصحح

مركزالفئة=منتصفها=)/2الحد الأعلى المصحح+الحد الأدنى المصحح)=مركز الفئة السابقة+طول الفئة

3- Table of cumulative frequency:

من الجدول السابق نجد أن:

عدد الطلاب الذين حصلوا على 49.5 درجة أو أقل =0.

و ~  ~       ~      ~    ~ 59.5 درجة أو أقل =3=0+3.

و ~  ~       ~      ~    ~ 69.5 درجة أو أقل =8=0+3+5.

و ~  ~       ~      ~    ~ 79.5 درجة أو أقل =26=0+3+5+18.

و ~  ~       ~      ~    ~ 89.5 درجة أو أقل =42=0+3+5+18+16.

و ~  ~       ~      ~    ~ 99.5 درجة أو أقل =50=0+3+5+18+16+8.

 

وبالتالي فإن جدول التكرار المتجمع الصاعد (cumulative frequency) يُعطى كما يلي:

Cumulative freq.

Class Interval

0

Least than 49.5

 

3

Least than 59.5

49.5-59.5

8

Least than 69.5

59.5-69.5

26

Least than 79.5

69.5-79.5

42

Least than 89.5

79.5-89.5

50

Least than 99.5

89.5-99.5

 

العرض البياني (Displaying):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الفصل الثاني:/ بعض المقاييس البسيطة لوصف البيانات

مقاييس النزعة المركزية (Measures of Central Tendency):

1) المتوسط.

2) الوسيط.

3) المنوال.

1) المتوسط (Mean):

أولاً:/في حالة البيانات المباشرة (ungrouped):

أ- متوسط المجتمع (Population mean) ونرمز له بالرمز µ ويعطى بالعلاقة التالية:

حيث، N:عدد مفردات المجتمع.

وهو عادة غير معروف, ولكن يمكن تقديره بمتوسط العينة .

ب- متوسط العينة (Sample mean) ونرمز له بالرمز  ويعطى بالعلاقة التالية:

حيث، n:عدد مفردات العينة.

تعريف رمز التجميع (S):

ليكن C عدد ثابت فإن العلاقات التالية صحيحة:

 

 

Example:

Find the mean for the sample value:

60,72,40,80,63

Solution

, ,  

ثانياً:/في حالة البيانات المبوبة (grouped):

إذا كان لدينا جدول توزيع تكراري  (Table of frequency distribution)فيه k من الفئات، ولهذه الفئات المراكز :x1,x2,…,xn   والتكرارات : f1,f2,…,fn ، فإن المتوسط  يعطى بالعلاقة التالية:

حيث n:مجموع التكرارات.

Example:

The following table gives the ages of a sample of 20 people.

fi

C.I.

ages

2

5-6

5

7-8

8

9-10

4

11-12

1

13-14

20

Total

 

Find the mean of ages.

 

Solution

 

لاحظ أن الفترات المعطاة تحتوي على قفزات وأن طول القفزة a=1.

لذا فإنه يجب علينا تصحيح الفترات وذلك بإضافة وطرح a/2=1/2=0.5 للحد الأعلى والأدنى للفئة على التوالي، فنحصل على الجدول التالي:

 

xi.fi

xi

(mid pint)

fi

C.I.

ages

2´5.5=11

 

2

4.5-6.5

5´7.5=37.5

5

6.5-8.5

76

9.5

8

8.5-10.5

46

11.5

4

10.5-12.5

13.5

13.5

1

12.5-14.5

184

-

20

Total

 

 

 

 

 


*المتوسط الموزون (weighting mean):

في بعض الأحيان تكون المشاهدات x1,x2,…,xn مقرونة بأوزان (weight) ولتكن w1,w2,…,wn، وبالتالي فإن المتوسط الموزون لهذه البيانات يعطى بالعلاقة التالية:

(لاحظ أننا تعاملنا مع الأوزان وكأنها تكرارات).

Example:

على التوالي

A student took  tests in physics, mathematics, and statistics and got the following marks:

50 , 70 , 60  and it weights is 2 ,3 ,4

Find the mean of marks.

Solution

 

بعض خصائص المتوسط:

1)    المجموع الجبري لانحرافات القيم عن متوسطها يساوي صفر أي أن:

2)    ليكن متوسط المشاهدات x1,x2,…,xn هو , وَ a,c عددين ثابتين فإن:

أ‌)       متوسط المشاهدات x1±c,x2±c,…,xn±c هو .

ب‌)   متوسط المشاهدات a.x1,a.x2,…,a.xn هو .

Example:

In the following, ages of five student:

5 , 7 , 9 , 11 , 10

a-Find the mean of ages.

b- Find the mean of ages before 2 years.

 

Solution

 

a-          

b-          

2) الوسيط (median):

بعد ترتيب البيانات تصاعدياً، فإن الوسيط هو القيمة التي يقع قبلها وبعدها 50% من البيانات.

أولاً:/في حالة البيانات المباشرة (ungrouped):

1)    إذا كان عدد البيانات n فردي فإن الوسيط (median) هو القراءة ذات الرتبة:  .

2)    إذا كان عدد البيانات n زوجي فإن الوسيط (median) هو متوسط القراءتين ذات الرتب: و .

 

 

 

 

 

 

 

Example:

Find the median of the following marks students:

60 , 72 , 40 , 80 , 63

Solution

1) n=5 (عدد فردي).

2) نرتب البيانات:    40 , 60 , 63 , 72 , 80  .

3) الوسيط  (median)هو القراءة ذات الترتيب .

Median=63

Example:

Find the median of the following marks students:

60 , 72 , 40 , 80 , 80 , 63

Solution

1) n=6 (عدد زوجي).

2) نرتب البيانات:      40 , 60 , 63 , 72 , 80, 80  .

3) الوسيط (median) هو متوسط القراءتين ذات الرتبة   و  .

=  Median=

ثانياً:/في حالة البيانات المبوبة (grouped):

نتبع الخطوات التالية:

1) نكون جدول تكرار متجمع صاعد (cumulative frequency), (بعد تصحيح الحدود).

2) نحسب رتبة الوسيط (median) وهي  (بغض النظر عن قيمة n هل هي فردية أم زوجية).

3) من خلال الجدول نحدد القيم التالية:

A: بداية الفئة الوسيطية (الفئة التي يوجد فيها الوسيط).

L: أطوال الفئات.

f1: التكرار السابق لـ .

f2: التكرار اللاحق لـ .

4) نحسب الوسيط بالعلاقة التالية:

= Median

 

Example:

The following table gives the ages of a sample of 20 people.

fi

C.I.

ages

2

5-6

5

7-8

8

9-10

4

11-12

1

13-14

20

Total

 

Find the median of ages.

 

Solution

 

لاحظ أن الفترات المعطاة تحتوي على قفزات وأن طول القفزة a=1.

لذا فإنه يجب علينا تصحيح الفترات وذلك بإضافة وطرح a/2=1/2=0.5 للحد الأعلى والأدنى للفئة على التوالي، فنحصل على الجدول التالي:

نكون جدول تكرار متجمع صاعدC.f.

fi

C.I.

ages

2

4.5-6.5

5

6.5-8.5

8

8.5-10.5

4

10.5-12.5

1

12.5-14.5

20

Total

C.f.

C.I.

ages

0

Least than 4.5

2

Least than 6.5

7= f1

Least than 8.5= A

15= f2

Least than 10.5

19

Least than 12.5

20

Least than 14.5

 

 

 

 

 


رتبة الوسيط (median)= = =10

f1=7 , f2=15 , A=8.5 , L=2

Median

 

 

 

3) المنوال (mode):

المنوال هو المشاهدات التي يتكرر وقوعها.

Example:

Complete the following table :

Mode

data

25

26 , 25 , 25 , 34

No

3 , 7 , 12 , 6 , 19

No

3 , 3 , 7 , 7 , 12 , 12 , 6 , 6

3 and 8

3 , 3 , 12 , 6 , 8 , 8

6

 

3 , 6 , 8 , 4 ,

 

مقاييس التشتت (Measures of Variation ):

وهي مقاييس عددية تصف درجة تباعد أو تشتت البيانات. لنأخذ مثلاً المجموعتين التاليتين:

المجموعة A:12000 , 13000 , 14000 , 15000 .Ü 

المجموعة B:5000 , 6000 , 21000 , 22000.        Ü

نلاحظ من هذا المثال أنه بالرغم من الاختلاف الكبير بين المجموعتين في الدخل إلا أن مقياس النزعة المركزية (المتوسط Mean) لا يبين هذا الاختلاف، لذا فإننا نحتاج إلى مقاييس أخرى تصف لنا درجة تشتت البيانات. ومن هذه المقاييس:

1) المدى.

2) التباين.

3) الانحراف المعياري.

4) معامل الاختلاف.

1) المدى (Range):

ويعطى بالعلاقة التالية:

فلو حسبنا المدى (Range) للمجموعتين السابقتين لوجدنا:

المجموعة الأولى:

المجموعة الثانية:

وهذا يعني أن بيانات المجموعة الأولى أقل تشتت من بيانات المجموعة الثانية.

2) التباين (Variance):

أولاً:/في حالة البيانات المباشرة (ungrouped):

ويعطى بالعلاقة التالية:

أو العلاقة:

وهي أسهل في الحساب.

Example:

Find the variance for the sample values:

10 , 5 , 7 , 8 , 6 , 6

 

Solution

n=6 ,

ثانياً:/في حالة البيانات المبوبة (grouped):

إذا كان لدينا جدول توزيع تكراري(Table of frequency distribution)  فيه k من الفئات ولها التكرارات التالية: f1,f2,…,fk ويقابلها مراكز الفئات: x1,x2,…,xk فإن التباين يعطى بالعلاقة التالية:

 

 

 

 

 

 

 

Example:

The following table gives the marks of 37 students:

 

fi

C.I.

(Marks)

2

40-49

9

50-59

15

60-69

11

70-79

37

Total

 

Find the variance.

Solution

 

لاحظ أن الفترات المعطاة تحتوي على قفزات وأن طول القفزة a=1.

لذا فإنه يجب علينا تصحيح الفترات وذلك بإضافة وطرح a/2=1/2=0.5 للحد الأعلى والأدنى للفئة على التوالي، فنحصل على الجدول التالي:

fixi2

fi.xi

Mid point(xi)

fi

C.I. (Marks)

3960.5

89

44.5

2

39.5-49.5

26733.25

490.5

54.5

9

49.5-59.5

62403.75

967.5

64.5

15

59.5-69.5

61052.75

819.5

74.5

11

69.5-79.5

154149.25

2366.5

-

37

Total

 

3) الانحراف المعياري (Standard Deviation):

وهو عبارة عن الجذر التربيعي الموجب للتباين[2].

Example:

Find the standard deviation in the last two example.

Solution

1)

2)

بعض خصائص التباين والانحراف المعياري (Variance & Standard Deviation):

ليكن x1 , x2 , … , xn مجموعة من المشاهدات عددها n ولها المتوسط  والتباين  فإن:

1) إذا أضفنا أو طرحنا عدد ثابت b من كل مشاهدة فإن التباين الجديد للمشاهدات الجديدة هو بحيث يكون:                .

2) إذا ضربنا كل مشاهدة في عدد ثابت a فإن التباين الجديد للمشاهدات الجديدة هو بحيث يكون:                            .

3) إذا قسمنا كل مشاهدة على عدد ثابت a فإن التباين الجديد للمشاهدات الجديدة هو بحيث يكون:                                 .

3) معامل الاختلاف (Coefficient of Variation):

ويرمز له بالرمز C.V. ،ويستخدم عادة لهدف المقارنة بين مجموعتين أو أكثر من البيانات التي يصعب مقارنتها بمقاييس التشتت الأخرى، وذلك لأحد الأسباب التالية:

1)    إذا كانت وحدات القياس مختلفة في المجموعات المقارَنة.

2)    إذا كانت لهما نفس وحدة القياس ولكن يوجد اختلاف في طبيعة البيانات (في المتوسطات)

مثل مقارنة تشتت أوزان مجموعتين الأولى من الفيلة والأخرى من الأبقار.

ويُعطى بالعلاقة التالية:

Example:

Compare the variation of lengths and weights for two sets of people if you have the following information:

1) the length phenomenon:

2) the weight phenomenon:

 

Solution

1) the length phenomenon:

 

 

 

 

2) the weight phenomenon:

 

Since                 , the variability in the length phenomenon is larger than the variability in the weight phenomenon.

 

 

 

 

 

 

*****

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

الفصل الثالث:/ مبادئ الاحتمالات

Example:

Find the sample space if we tossed the coin:

1) once.

2) twice.

Solution

1) W={H , T}   , n(W)=2.

 

2)

                                                                                                              

 

 

 

 

 

 


 W={HH , HT , TH , TT}    , n(W)=4.

 

Example:

If we tossed die twice:

a) Find the sample space.

b) Find an event which giving:

1) summation =7.

2) The difference between two values equal with absolute value1.

3) multiply=at most 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

a)

6

5

4

3

2

1

 

(1,6)

(1,5)

(1,4)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

1

:

(2,2)

(2,1)

2

:

(3,3)

(3,1)

3

:

(4,4)

(4,1)

4

:

(5,5)

(5,1)

5

(6,6)

(6,1)

6

 

 

 

b)

1)  A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.  n(A)=6

2) B={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,5),(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)}.  n(B)=10.

3) C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(5,1),(6,1)}.  n(C)=14.

 

In the last example, find:

a) AÇB , AÇBc.

b) P(S) , P(A) , P(B) , P(C) , P(AÇB).

Solution

a) AÇB={(3,4),(4,3)}.

AÇBc={(1,6),(2,5),(5,2),(6,1)}.

 

b)

إذا علمنا عدد عناصر الحوادث فإننا نستخدم قانون الاحتمال العام:

P(S)=1.

 

قوانين هامة:

وهناك بعض الحالات الخاصة نوضحها فيما يلي:

1) إذا كان AÌB:

2) إذا كان A , Bحادثتان متنافيتان (Disjoint):

3) إذا كان A , B حادثتان مستقلتان (Independent):

 

Example:

Let A and B are events defined on the same sample space where:  

 

Find the following probability:

 

 


Solution

نلاحظ في هذا المثال أن عدد عناصر الحوادث غير معلوم, لذا فإننا سنستخدم القوانين السابقة:

Example:

Let A and B are events defined on the same sample space where:  

Find the following probability:

 

 


Solution

 

 

 

Example:

100 persons are classified according to sex kind as follows:

Total

Unpatient (Bc)

Patient  (B)

 

60

58

2

Male  (A)

40

39

1

Female  (Ac)

100

97

3

Total

 

If we selected a person at random from this group, find the  probability that he/she is:

a) Male.

b) Patient.

c) Male given that he/she is Patient.

d) Patient given that he/she is Male.

 

Solution

 


a)

 


b)

 

c)

 

 


d)

 

 

 

Example:

Let A and B are events defined on the same sample space where:  

Find the following probability:

 

 

 


a) If A , B are disjoint.

b) If A , B are independent.

c) If B Ì A.

Solution

a)

بما أن الحادثتان A , B متنافيتان Ü  

b)

 بما أن الحادثتان A , B مستقلتان Ü  و

 

 

 

c)

بما أن BÌA Ü  و

ملاحظة:

إذا كانت A , B حادثتين مستقلتين فإن:

1) Ac , Bc مستقلين.

2) Ac , B مستقلين.

3) A , Bc مستقلين.

 

* عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصر من n من العناصر تعطى بالعلاقة التالية:

 عدد الطرق الممكنة= .

Example:

how many ways can we form a committee of size 3 from 5 doctors.

Solution

n=5 , r=3

The number of different ways for selecting 3 doctors from 5 doctors is:

 

 

 

الفصل الرابع:/ التوزيعات الاحتمالية

أ) التوزيعات المنفصلة:

Example:

Suppose the random variable X has the following probability distribution:

X

-1

2

5

8

P(X=x)

0.3

k

0.2

0.1

Find the following:

a) constant k.

b) P(X>2)  ,  P(-1<X£5)  ,  P(X>8).

 

Solution

a)

من شروط الدالة الاحتمالية أن يكون:     

b)

X

-1

2

5

8

P(X=x)

0.3

k

0.2

0.1

 

 

Example:

If you have the following function:

,    
a) Is the function can be probability distribution?

b)

c) Find the mean (expected value).

d) Find the cumulative distribution.

Solution

 

Total

4

3

2

1

x

1

16/30

9/30

4/30

1/30

P(X=x)

 

a)

نلاحظ من الجدول:   و  (جميع الاحتمالات موجبة).

إذن, هذه الدالة صالحة لأن تكون دالة احتمالية.

b)

 

c)

Total

4

3

2

1

x

1

16/30

9/30

4/30

1/30

P(X=x)

100/30

64/30

27/30

8/30

1/30

x.P(X=x)

E(X)=3.33

d)

Total

4

3

2

1

x

1

16/30

9/30

4/30

1/30

P(X=x)

-

1

14/30

5/30

1/30

P(X£x)

 

Example:

Suppose the random variable X has the following probability distribution:

X

-1

1

2

3

P(X=x)

1/10

3/10

k/10

2k/10

Find the following:

a) constant k.

b) Find the mean (expected value) of X.

c) Find the mean (expected value) for new random variable Y where,

 d) Find the cumulative distribution of X.

 

Solution

a)

من شروط الدالة الاحتمالية أن يكون:     

b)

Total

3

2

1

-1

X

1

4/10

2/10

3/10

1/10

P(X=x)

18/10

12/10

4/10

3/10

-1/10

X. P(X=x)

E(X)=1.8

 

c) E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=2(1.8)-1=2.6.

 

Total

3

2

1

-1

X

1

4/10

2/10

3/10

1/10

P(X=x)

-

1

6/10

4/10

1/10

P(X£x)

d)

 

 

 

توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution):

لاحظ أنه في توزيع ذي الحدين يكون:

1) احتمال النجاح ثابت.

2) في التجربة الواحدة يكون لدينا نجاح أو فشل(نتيجتين).

3) نتائج التجربة مستقلة عن بعضها.

4) p: احتمال النجاح.     1-p: احتمال الفشل.

الشكل العام لتوزيع ذي الحدين هو:

وفي هذا التوزيع يكون معنى المتغير العشوائيX : عدد مرات النجاح.

Example:

In a large city, 80% of the people are smokers. If we selected a random sample of 4 persons. Find the following probability:

a) two is a smoker.

b) at least two is a smoker.

c) Find the mean (expected value) of X.

d) Find the variance of X.

 

Solution

لنعرف المتغير العشوائي على أنه:

X:عدد المدخنين.

p=0.8 , 1-p=0.2

وتعطى دالة توزيع ذي الحدين في هذه الحالة كما يلي:

a)

b)

c)

d)

Example:

If we tossed balanced coin three times find the follows:

a) probability distribution function.

b)

c) Find the mean (expected value) of X.

d) Find the variance of X.

(X=the number of "H" in the three tosses).

 

Solution

بما أن قطعة النقود متوازنة (balanced)       Ü   و    و 

a)

b)

 

 

c)

d)

 

Example:

Let X~b(6,0.2). Find the follows:

a) probability distribution function.

b) Find the cumulative distribution of X.

c)

  1)

  2)

  3)

Solution

a)

 

 

 

 

 

b)

 

X

P(X=x)

P(X£x)

0

0.2621

0.2621

1

0.3932

0.6554

2

0.2458

0.9011

3

0.0819

0.9830

4

0.0154

0.9984

5

0.0015

0.9999

6

0.0001

1.0000

Total

1.0000

-

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

  1)

  2)

  3)

       

 

Example:

Suppose that 15% of people have low hemoglobin levels. If we selected randomly 5 people,

a) find the probability that 4 or more have low hemoglobin levels.

          b) find the expected number of people with low hemoglobin levels.

Solution

 

X=the number of people have low hemoglobin levels.

  ,    , 

 

a)

 

b)

 

توزيع بواسون (Poisson Distribution):

الشكل العام لتوزيع بواسون هو:

وفي هذا التوزيع يكون معنى المتغير العشوائيX : عدد "*" لكل "*".

على سبيل المثال:

1)    عدد المكالمات التي يستقبلها السنترال لكل دقيقة.

2)    عدد المراجعين للمركز الصحي في اليوم.

3)    عدد الفئران في كل بيت من بيوت القرية A.

Example:

If the number of patients which visits the hospital per week, has the Poisson distribution with mean 7.

a) Find the following probability:

1) no patients visits the hospital next week. 

2) at least two patients are visits the hospital next week.

b) find the expected value of  visit in:

1) two weeks.

 2) one month.

Solution

 

X= the number of patients which visits the hospital per week.

l=7.

a)

1)  

2)

      

القيمة المتوقعة(المتوسط) لزيارة المرضى للمستشفى لكل أسبوع=l=7                            b) \القيمة المتوقعة (المتوسط) لزيارة المرضى للمستشفى لكل أسبوعين:            1)

\القيمة المتوقعة (المتوسط) لزيارة المرضى للمستشفى لكل شهر:             2)

 

Example:

The average number of deaths per year from cancer is 3. If the number of deaths from this disease has the Poisson distribution,

Find the following probability:

          a) not more than 2 deaths in a year.

          b) at least two deaths in a year.

c) exactly 3 deaths in a year.

          d) exactly 4 deaths in 4 months.

e) mean & variance per year.

 

Solution

 

X= number of deaths per year from cancer

l=3.

a)

 

b)

 

c)

d)

معدل الوفيات في السنة l=3.

\معدل الوفيات في الشهر:  l1=3/12=0.25

\معدل الوفيات لكل 4 أشهر:  l2=0.25´4=1

\نستخدم الدالة التالية:   

e) mean = variance=3.

 

ب) التوزيعات المتصلة:

التوزيع الطبيعي (Normal Distribution):

الشكل العام للتوزيع الطبيعي المعياري:

 

 

 

 

 

P(-¥<Z<¥)=1

P(Z>0)=0.5

P(Z<0)=0.5

ملاحظة:

1) في التوزيعات المتصلة, نجد أن احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي(X) قيمة معينة يساوي الصفر أي أن: {P(X=k)=0}.

2) P(X<k)=P(X£k) أي أنه لا يوجد تأثير لعلامة المساواة.

Example:

Let Z~N(0,1). Find the following:

P(Z=0)

P(Z³0)

P(Z£-1.1)

P(Z=1.99)

P(-1.21£Z£3.11)

P(Z³1.75)

P(-1.1£Z£1.1)

P(Z³-3.04)

P(Z³2.22)

P(-2.17£Z£3.17)

P(Z³-1.65)

P(Z£2.45)

 

Solution

P(Z£-1.1)=0.1357

وهو عبارة عن تقاطع السطر -1.1 والعمود 0.00.

P(Z³1.75)=1-P(Z£1.75)=1-0.9599=0.0401

الاحتمال الأخير عبارة عن تقاطع السطر 1.7 والعمود 0.05.

P(Z³2.22)=1-P(Z£2.22)=1-0.9868=0.0132

P(Z£2.45)=0.9929

P(Z³0)=0.5

P(-1.21£Z£3.11)=P(Z£3.11)- P(Z£-1.21)=0.9991-0.1131=0.886

P(Z³-3.04)=1- P(Z£-3.04)=1-0.0012=0.9988

P(Z³-1.65)=1- P(Z£-1.65)=1-0.0495=0.9505

P(Z=0)=0

P(Z=1.99)=0

P(-1.1£Z£1.1)= P(Z£1.1)- P(Z£-1.1)=0.8643-0.1357=0.7286

P(-2.17£Z£3.17)= P(Z£3.17)- P(Z£-2.17)

=0.9992-0.0150=0.9842

 

Example:

Let Z~N(0,1). Find the constant in follows:

P(Z£C)=0.117   ,   P(Z³G)=0.1230   ,    P(Z³M)=0.0053

P(Z³A)=0.5000   ,   P(N£Z£3.17)=0.9537.

Z0.90  ,   Z0.975   ,   Z0.99

 

Solution

P(Z£C)=0.117

نبحث في الجدول عن القيمة 0.117، وبالتالي فإن Cعبارة عن مجموع قيمة السطر والعمود المقابلة للعدد 0.117.

C=-1.19

P(Z£G) =1- P(Z³G)=1-0.1230=0.877

G=1.16

P(Z£M)=1-0.0053=0.9947

نلاحظ أن القيمة 0.9947 تقع في السطر 2.5 وبين العمودين 0.05 و 0.06

لذا فإننا سنختار المنتصف والذي يساوي:

 

ÞM=2.555

 

P(Z³A)=0.5  Þ  A=0

P(Z<K)=1  Þ  K=¥

P(Z>Y)=1  Þ  Y=-¥

 

P(N£Z£3.17)=0.9537

ÞP(Z£3.17)-P(Z£N)=0.9537

Þ0.9992-P(Z£N)=0.9537

Þ P(Z£N)= 0.9992-0.9537=0.0455

N=-1.69

 

P(Z£ Z0.90)=0.90

ÞZ0.90=1.285

 

P(Z£ Z0.975)=0.975

ÞZ0.975=1.96

 

P(Z£ Z0.99)=0.99

ÞZ0.99=2.325

 

Example:

Let X~N(175,100). Find the constant in follows:

P(155.4£X£194.6)  ,  P(X>185).

 

Solution

    ,   

 

Example:

The waiting times (in minutes) of patients at a clinic are N(12,16). Find the percentage of patients who wait at clinic:

a) for more than 9 minutes.

b) for less than 10 minutes.

c) between 8 and 14 minutes.

 

 

Solution

لنفرض أن المتغير العشوائي X هو مدة انتظار المريض في المستوصف بالدقائق.

X~N(12,16)  Þ µ=12  ,  s2=16  , s=4

a)

\77.34% patients are waiting at the clinic for more than 9 minutes.

b)

\30.85% patients are waiting at the clinic for less  than 10 minutes

c)

\53.28% patients are waiting at the clinic between 8 and 14 minutes

 

Example:

Let X be a continuous random variable for which:

     = 0.7 ,   = 0.4 ,   = 0.1

Find:

a) P(X>3.5)   ,   b) P(X£4.9)     ,    c) P(2.8<X<3.5)

d) P(3.5<X<4.9)    ,  e)  P(X=4.2)

 

Solution

a) P(X>3.5)=1- P(X<3.5)=1-0.7=0.3

b) P(X£4.9)=1- P(X>4.9)=1-0.1=0.9

c) P(2.8<X<3.5)=P(X<3.5)-P(X<2.8)=0.7-0.4=0.3

d) P(3.5<X<4.9)=P(X<4.9)-P(X<3.5)=0.9-0.7=0.2

e) P(X=4.2)=0

 

 

 

الفصل الخامس:/ التقدير واختبارات الفروض

أ) تقدير متوسط المجتمع µ:

1) تقدير بنقطة:

نقدر متوسط المجتمع µ تقديراً نقطياً بمتوسط العينة, والذي يعطى بالعلاقة التالية:

2) تقدير بفترة:

نقدر متوسط المجتمع µ بمستوى ثقة (1-a)´100% بالفترة التالية:

(1) إذا كان تباين المجتمع s2 معلوم:

(2) إذا كان تباين المجتمع s2 مجهول:

Example:

The waiting times (in minutes) of patients in a clinic have the normal distribution with an unknown mean µ and standard deviation 4 minutes. If the mean waiting time of 16 patients selected at random is 15 minutes, find:

a) a point estimate of µ.

b) 90% confidence interval for µ.
c) 99% confidence interval for
µ.

 

Solution

X~N(µ,42)   ,   n=16    ,   

a)

التقدير النقطي لمتوسط المجتمع µ = =15

b)

c)

Example:

A random sample of 64 persons has mean  was 250 and standard deviation  was 45.

Find:

a) a point estimate of µ.

b) 90% confidence interval for µ.
c) 95% confidence interval for
µ.

 

Solution

 

X~N(µ,s2)   ,   n=64    ,     S=45    ,   

a)

التقدير النقطي لمتوسط المجتمع µ = =250

b)

c)

ب) تقدير نسبة المجتمع π:

1) تقدير بنقطة:

نقدر نسبة المجتمع π تقديراً نقطياً بنسبة العينة, والذي تعطى بالعلاقة التالية:

2) تقدير بفترة:

نقدر نسبة المجتمع π بمستوى ثقة (1-a)´100% بالفترة التالية:

Example:

In a study of smoking of students of school, 400 students of the school were selected at random. Then we found 60 of the students are smokers. If the proportion of smokers in the school

is π, find:

a) a point estimate of π.

b)90% confidence interval for π.

c) a 99% confidence interval for π.

 

Solution

n=400   ,   n(smokers)=60.

نسبة المدخنين:             

a)

التقدير النقطي لنسبة المدخنين في المجتمع p=0.15=

b)

 

 

 

c)

 

 

 



[1] لاحظ أن وحدة الدقة a=1 وذلك لأن المشاهدات مقربة إلى أقرب عدد صحيح,ولو كانت مقربة إلى أقرب عدد عشري لكانت وحدة الدقة a=0.1 ، ولو كانت مقربة إلى أقرب عدد مئوي لكانت وحدة الدقة a=0.01 وهكذا.

[2] سواءً كانت البيانات مبوبة (grouped) أم مباشرة (ungrouped).

 
King   Saud University. All rights reserved, 2007 | Disclaimer | CiteSeerx